Elementos de Matemática (código 13509) - 2009/2010

sol  Período diurno

 

Sumários das aulas teóricas


Mês Dia Horas Objecto da lição
9 22 10h - 11h Apresentação dos tópicos do programa, dos objectivos e da bibliografia. Descrição do modo de funcionamento das aulas teóricas e teórico-práticas. Conselhos sobre o modo de estudarem a matéria desta disciplina e sobre a assiduidade às aulas. Descrição do modo de avaliação.
9 24 9h30 - 10h30 Valores lógicos, asserções e as operações lógicas de conjunção, disjunção, negação, condicionalização e bicondicionalização. Exemplos. Tabelas de verdade da conjunção e da disjunção.
9 29 10h - 11h Disjunção e disjunção exclusiva. Tabela de verdade da disjunção exclusiva. Exemplos de asserções com a condicionalização. Tabelas de verdade da condicionalização e da bicondicionalização. Asserções elementares, análise lógica e forma lógica de uma asserção. Exemplos. Fórmulas. Duas convenções sobre a dispensa de parêntesis em fórmulas. Exemplos.
10 1 9h30 - 10h30 Determinação do valor lógico de uma asserção a partir de uma sua forma lógica e dos valores lógicas das asserções elementares que a compõem. Exemplo. Fórmulas logicamente equivalentes. Caracterização da bicondicionalização como conjunção de duas implicações. Apresentação e explicação, sem fazer as tabelas de verdade, das leis comutativas, associativas e de idempotência da conjunção e da disjunção, das leis distributivas da conjunção (resp. disjunção) em relação à disjunção (resp. conjunção), das leis de De Morgan, da dupla negação, condicional e do contra-recíproco. Exemplos. Uma propriedade sobre substituição em fórmulas. Exemplos.
10 6 10h - 11h Mais uma propriedade sobre substituição em fórmulas. Exemplos. Tautologia e contradição. Exemplos. Recíproco e contra-recíproco de uma implicação. As formas de leitura de uma implicação. Exemplos. Relação entre as formas de leitura de uma equivalência e de uma implicação.
10 8 9h30 - 10h30 Relação entre as formas de leitura de uma equivalência e de uma implicação. Argumento, premissas e conclusão. Exemplos. Forma de argumento, premissas e conclusão. Exemplos. Formalização de um argumento. Exemplos. Forma de argumento válido ou regra de inferência. Forma de argumento inválido ou falacioso. Exemplos. Argumento válido e argumento inválido ou falacioso. Exemplos.
10 13 10h - 11h Apresentação de algumas formas de argumentos válidos, incluindo modus ponens e modus tollens. Colecção e elemento de uma colecção. Exemplos.Variáveis e condições. Exemplos. Substituição de uma variável por objectos concretos. Exemplos. Domínio de uma variável. Exemplos. Conectivos lógicos sobre condições. Exemplos. Análise lógica de condições. Exemplos.
10 15 9h30 - 10h30 Satisfação de uma condição por objectos concretos. Exemplos. Condição universal, possível e impossível. Exemplos. Quantificadores sobre uma condição com uma única variável. Exemplos de asserções com quantificadores.
10 20 10h - 11h Mais exemplos de asserções com quantificadores. Variável muda e variável livre. Quantificadores sobre uma condição com mais do que uma variável. Exemplos. Simplificação da escrita: remoção da palavra "verdadeira" em asserções do tipo "Logo P é verdadeira". Exemplos.
10 22 9h30 - 10h30 Significado de frases da forma "Em A, P", onde A é um conjunto e P é uma condição. Condições equivalentes num domínio e uso do símbolo <=> entre condições. Exemplos. Substituição numa asserção ou condição de uma asserção ou condição por outra que lhe seja equivalente. Exemplo. Substituição de uma variável muda numa expressão com quantificadores. Exemplos. Negação de expressões com quantificadores. Exemplos.
10 27 10h - 11h Significado de frases da forma "Em A, P ≠> Q", ou "Em A, P não é suficiente para Q", onde A é um conjunto e P e Q são condições. Exemplos.Troca de ordem de dois quantificadores. Exemplos.
10 29 9h30 - 10h30 Expressões do tipo "existe um e um só". Exemplos. Duas formulações de "existe um e um só" em termos dos quantificadores existencial e universal.Conjuntos, princípio da extensionalidade e representação em extensão. Exemplos. Representação em compreensão. Exemplos.
11 3 10h - 11h Conjunto vazio. Outra forma de representação em compreensão de certos conjuntos. Variável muda. Inclusão de conjuntos. Exemplos. Inclusão própria. As diferentes formas de representar a inclusão e a inclusão própria. Negação da inclusão. Caracterização da igualdade e da diferença (≠) em termos da inclusão. Conjunto das partes de um conjunto.
11 5 9h30 - 10h30 Exemplo de cálculo do conjunto das partes de um conjunto. Intersecção, união e complementação de dois conjuntos. Exemplos. Propriedades sobre estas operações. Conjuntos disjuntos entre si. União e intersecção de conjuntos arbitrários de conjuntos (com a restrição do conjunto de conjuntos não ser vazio para o caso da intersecção). Exemplos. Outra representação para estas uniões e intersecções no caso dos conjuntos estarem indexados num conjunto. Exemplo.
11 10 10h - 11h Produto cartesiano de dois conjuntos. Exemplos. Produto cartesiano de um número finito qualquer de conjuntos. Exemplos. Introdução a métodos de demonstração: axioma, definição, resultado, demonstração, proposição, teorema, corolário, lema, hipótese e tese. Demonstração: dados e objectivo.
11 12 9h30 - 10h30 Demonstração de uma implicação pelo método directo. Exemplo. Demonstração de uma implicação por contra-recíproco. Exemplo.
11 17 10h - 11h Estratégias de demonstração quando: 1) um dado é uma conjunção; 2) a tese é uma conjunção. Os casos particulares da igualdade de conjuntos e da equivalência como conjunções. Estratégias de demonstração quando: 1) um dado é uma disjunção (demonstração por casos); exemplo; 2) a tese é uma disjunção; exemplo. Consideração de ~P ou de ~Q quando se pretende demonstrar P v Q. Exemplo.
11 19 9h30 - 10h30 Demonstração por redução ao absurdo. Exemplo. Dado da forma "existe…". Objectivo da forma "existe…". Exemplos. Dado da forma "para qualquer…". Objectivo da forma "para qualquer...". Exemplo. Uma estratégia de demonstração de inclusão de conjuntos. Exemplo. Exemplo de uma demonstração de uma proposição que começa por um quantificador universal seguido imediatamente de um quantificador existencial.
11 24 10h - 11h Duas estratégias de demonstração de proposições da forma "existe um e um só...". Exemplos. Princípio de Indução Matemática e método de indução matemática. Exemplo. Adaptação deste princípio ao conjunto dos números inteiros maiores ou iguais a zero e ao conjunto dos números naturais maiores que um dado número natural fixado. Exemplo.
11 26 9h30 - 10h30 Princípio de Indução Matemática Completa e método de indução matemática completa e suas variantes análogas às dadas para o Princípio de Indução Matemática. Exemplo: demonstração até ao ponto de utilização da hipótese de indução (a demonstração completa é disponibilizada na reprografia) de que todo o número natural maior que um é primo ou produto de primos. Aplicação: conceito, notação, domínio, conjunto de chegada, objecto e imagem. Exemplos. Igualdade de aplicações. Contradomínio. Exemplos. Definição de aplicações por recorrência cujo domínio seja o conjunto dos números naturais, o conjunto dos números inteiros maiores ou iguais a zero ou o conjunto dos números naturais maiores que um dado número natural fixado. Exemplo: definição de factorial de um número natural.
12 3 9h30 - 10h30 Continuação da aula anterior. Exemplo. Aplicação injectiva, sobrejectiva e bijectiva. Exemplos. Aplicação identidade de um conjunto. Composição de aplicações.
12 10 9h30 - 10h30 Aplicação inversa de uma aplicação. Dois resultados sem as demonstrações na aula (as demonstrações ficam na reprografia): 1) Se f: A ---> B e g: B ---> A forem aplicações tais que gof é a identidade de A e fog é a identidade de B, então f é bijectiva e a aplicação inversa de f é g; 2) Se f: A ---> B e g: B ---> C forem aplicações bijectivas, então (i) a aplicação inversa de f também o é e a sua inversa é f; (ii) gof também o é e a sua inversa é a composta da inversa de f com a inversa de g. Relação binária num conjunto. Exemplos. Relação vazia, relação identidade e relação universal num conjunto. Diferentes formas de definir uma relação binária. Relação reflexiva, simétrica e transitiva. Relação de equivalência.
12 15 10h - 11h Recapitulação dos conceitos de relação reflexiva, simétrica, transitiva e de equivalência. Exemplos. Classe de equivalência e conjunto quociente. Exemplos. Dois resultados sem as demonstrações na aula (as demonstrações ficam na reprografia) sobre relações de equivalência. Equivalência, sem a demonstração na aula (a demonstração fica na reprografia), entre a igualdade de relações de equivalência, a igualdade das respectivas classes de equivalência e a igualdade dos respectivos conjuntos quociente.
12 17 9h30 - 10h30 Partição de um conjunto. Exemplos. Observação de que o conjunto quociente de uma relação de equivalência é uma partição. Relação de equivalência determinada por uma partição. Exemplos. Dois resultados sem as demonstrações na aula (as demonstrações ficam na reprografia): 1) As classes de equivalência da relação de equivalência determinada por uma partição são exactamente os elementos da partição; 2) Dada uma partição, existe uma única relação de equivalência cujo conjunto quociente é a partição. Observação de que, dada uma relação de equivalência R num conjunto A, a relação de equivalência determinada pela partição A/R é a própria relação R. Aplicação canónica de uma relação de equivalência. Definição de aplicações cujos elementos podem ser representados de várias formas. Exemplos. Caso de o domínio ser um conjunto quociente. Exemplos.